\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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% configuración del fondo-------------------------------
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\parbox[b][\paperheight]{\paperwidth}{%
\vfill
\centering
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keepaspectratio]{Logo.jpg}%
\vfill
}}}
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% PIE DE PAGINA ------------------------------------------
\fancyhf{} % Numeración en pie de pagina
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% ENCABEZADO ---------------------------------------------
\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{65pt} %Separacion de la linea y el Titulo
\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
% Texto a la Izquierda del encabezado -----
\lhead{
Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales \\
Escuela de Ingeniería Estadística\\
\textbf{Ciclo:} 2024-I
}
% Texto a la Derecha del encabezado -----
\rhead{
27/04/2024\\
\textbf{Curso:} Nombre del Curso\\
\textbf{Profesor:} Yhon Tiahuallpa
}
% Puntaje en el margen izquierdo----------------------------
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\newcommand{\pts}[1]{\reversemarginpar\marginnote{ (#1 pts) }}
% ________________________________________________________
\begin{document}
\AddToShipoutPicture{\BackgroundPic} % Agrega el fondo a todas las hojas
$$\text{\textbf{\large Examen Parcial/Final}}$$
\vspace{0.3cm}
\begin{enumerate}[labelwidth=0pt, align=left, leftmargin=*]
\item \pts{2} Sea $\left\{X_n\right\}$ un proceso estacionario en covarianza con media cero, con función de covarianza $R_X(v)$ y función de densidad espectral $f_X(\omega),-\pi \leq \omega \leq \pi$.
$$
Y_n=\sum_{k=0}^{\infty} a_k X_{n-k} \;\;.
$$
Demuestre que la ... y....
$$
\begin{aligned}
f_Y(\omega) & =\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega) \\
&=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega) \quad-\pi \leq \omega \leq \pi.
\end{aligned}
$$
\item \pts{3} El puntaje puede ir antes del enunciado
\item Calcular la función de densidad espectral del proceso autorregresivo $\left\{X_n\right\}$ el cual
satisface
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
$$
\begin{itemize}
\item \pts{2} El puntaje puede ir por items
$$f(\omega)=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega)$$
\item \pts{3} donde $\left\{\xi_n\right\}$ y ademas... son todas menores que uno en valor absoluto.
$$f(\omega)=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega)$$
\end{itemize}
\qquad \textit{\textbf{Solución:}}
$$
f(\omega)=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega)
$$
\item \pts{5} Sea $\left\{X_n\right\}$ y $\alpha_0, \ldots, \alpha_q$ son reales y $\left\{\xi_n\right\}$, ademas de:
$$
f(\omega)=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega)
$$
donde $z_1, \ldots, z_q$ son las $q$ raíces de
$$
f(\omega)=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\left|\sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{i k \omega}\right|^2 f_X(\omega)
$$
\item \pts{5} Sean $\left\{\xi_n\right\}$ variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con medias nulas y varianzas unitarias. Demostrar que todo proceso de media movil
$$
f(\lambda)=\frac{1}{2 \pi \sigma_X^2} \prod_{j=1}^q\left|e^{i \lambda}-z_j\right|^2,
$$
es ergódico. Supongamos que $\displaystyle \sum a_k^2<\infty$. ¿Es lo mismo para $\displaystyle Y_n=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \xi_{n-k}$?.
$$
f(\lambda)=\frac{1}{2 \pi \sigma_X^2} \prod_{j=1}^q\left|e^{i \lambda}-z_j\right|^2,
$$
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
