Stručný přehled vzorců a vztahů z předmětu PST. Neobsahuje všechny triviální věci (pravděpodobnost jevu) a některé komplikovanější, které se nedají snadno stručně shrnout (CLT, Markova nerovnost etc.). Veškerou většinu ostatní potřebné výbavy na zkoušku ale ano.
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{float}
\title{Přehled PST}
\author{Jaroslav Šmolík}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Stručný přehled vzorců a vztahů z předmětu PST. Neobsahuje všechny \textit{triviální} věci (pravděpodobnost jevu) a některé \textit{komplikovanější}, které se nedají snadno stručně shrnout (CLT, Markova nerovnost etc.). Veškerou většinu ostatní potřebné výbavy na zkoušku ale ano.
\end{abstract}
\newcommand{\E}{\operatorname{E}}
\newcommand{\var}{\operatorname{var}}
\newcommand{\sd}{\operatorname{sd}}
\newcommand{\cov}{\operatorname{cov}}
\newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\section{Pravděpodobnost}
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
\section{Náhodné veličiny}
\paragraph{Střední hodnota}
$$\E X = \sum_{\forall x_i} x_i p_X(x_i)$$
$$\E X = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)$$\paragraph{Střední hodnota, rozptyl}
$$\sigma^2 = \var X = \E (X - \E X)^2 = \E X^2 - (\E X)^2$$
$$\sigma = \sd X = \sqrt{\var X}$$
\paragraph{Moment}
$$\mu_k = \E X^k$$
\paragraph{Centrální moment}
$$\sigma_k = \E (X-\E X)^k$$
\paragraph{Koeficient šimosti}
$$\gamma_1 = \frac{\sigma^3}{\sigma_3}$$
Koeficient je kladný, záporný, podle toho, kam se vrchol vychyluje. (kladný doleva, záporný doprava)
\paragraph{Koeficient špičatosti}
$$\gamma_2 = \frac{\sigma^4}{\sigma_4} - 3$$
Koeficient je kladný, záporný, podle toho, jestli je špičatější než normální rozdělení (kladný špičatější, záporný méně špičatý).
\paragraph{Kvantil}
$$x_{\alpha} = Q_X(\alpha) = \mathrm{inf}\{ x : F_X \geq \alpha \}$$
Tedy bod, který dělí veličinu tak, že před ním je $(\alpha \cdot 100) \%$ hodnot.
\paragraph{Kritická hodnota}
$$z_{\alpha} = Q_X(1-\alpha)$$
\paragraph{Moment generující funkce}
$$M_X(s) = \E (e^{sX} )$$
$k$-tý moment je pak
$$m_k = \frac{d^k}{ds^k}M_X(s)$$
\section{Náhodné vektory}
\paragraph{Marginální hustota}
$$p_X(x) = \sum_{\forall y_i} p_{X,Y}(x,y_i)$$
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \diff y$$
\paragraph{Podmíněná hustota}
$$p_{X|Y}(x|y) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}$$
\paragraph{Kovariance}
$$\cov_{X,Y} = \E (X-\E X)(Y-\E Y)$$
\paragraph{Korelační koeficient}
$$\rho_{X,Y} = \frac{\cov_{X,Y}}{\sqrt{\var X}\sqrt{\var Y}}$$
\section{Příklady rozdělení}
\subsection{Příklady diskrétních rozdělení}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{Příklady diskrétních rozdělení}
\label{tb:discrete}
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{@{}rcccc@{}}
\toprule
& Be(p) & Binom(p,n) & Geom(p) & Poisson($\lambda$) \\ \midrule \addlinespace[0.5em]
$p_X$ & $p$ & $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ & $(1-p)^{k-1} p$ & $\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ \\ \addlinespace[0.5em]
$\E X$ & $p$ & $n \cdot p$ & $\frac{1}{p}$ & $\lambda$ \\ \addlinespace[0.5em]
$\var X$ & $pq = p(1-p)$ & $n \cdot pq = n \cdot p(1-p)$ & $\frac{q}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}$ & $\lambda$ \\ \addlinespace[0.5em] \bottomrule
\end{tabular}
}
\end{table}
\subsection{Příklady spojitých rozdělení}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{Příklady spojitých rozdělení}
\label{tb:continuous }
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{@{}rcccc@{}}
\toprule
& Unif(a,b) & Exp($\lambda$) & Norm($\mu, \sigma^2$)\\ \midrule \addlinespace[0.5em]
$p_X$ & $\begin{cases} \frac{1}{b-a},& x\in (a,b)\\ 0, & \text{else} \end{cases}$ & $\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},& x > 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$ & $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ \\ \addlinespace[0.5em]
$\E X$ & $\frac{a+b}{2}$ & $\frac{1}{\lambda}$ & $\mu$ \\ \addlinespace[0.5em]
$\var X$ & $\frac{(b-a)^2}{12}$ & $\frac{1}{\lambda^2}$ & $\sigma^2$ \\ \addlinespace[0.5em] \bottomrule
\end{tabular}
}
\end{table}
\section{Bodové odhady}
\paragraph{Výběrový průměr}
$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
\paragraph{Výběrový rozptyl}
$$S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2
= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{X}^2\right)$$
\paragraph{Výběrová odchylka}
$$S_n = \sqrt{S_n^2}$$
\paragraph{Výběrový moment}
$$m_k = \frac{i=1}{n} \sum_{1}^{n}x_i^k$$
\paragraph{Výběrová kovarinace}
$$s_{X,Y} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y_n})(x_i - \bar{x_n})
= \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n \bar{x_i}\bar{y_i}\right)$$
\paragraph{Výběrový korelační koeficient}
$$r = \frac{s_{X,Y}}{s_X s_Y}$$
\section{Konfidenční $(1- \alpha) 100\%$ intervaly}
\subsection{Střední hodnota}
\paragraph{Známý rozptyl}
$$\left( \bar{X_n} - z_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}}, \bar{X_n} + z_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \right)$$
$$\left( \bar{X_n} - z_{\alpha, n-1} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}}, \infty \right) ,
\left( -\infty, \bar{X_n} + z_{\alpha, n-1} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \right)$$
\paragraph{Nezmámý rozptyl}
$$\left( \bar{X_n} - t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{\sqrt{s_n^2}}{\sqrt{n}}, \bar{X_n} + t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{\sqrt{s_n^2}}{\sqrt{n}} \right)$$
$$\left( \bar{X_n} - t_{\alpha, n-1} \frac{\sqrt{s_n^2}}{\sqrt{n}}, \infty \right) ,
\left( -\infty, \bar{X_n} + t_{\alpha, n-1} \frac{\sqrt{s_n^2}}{\sqrt{n}} \right)$$
\subsection{Rozptyl}
Pouze normální rozdělení. Pro obecná nelze určit KI rozptylu.
$$\left( \frac{(n-1)s_n^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}, n-1}} , \frac{(n-1)s_n^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}, n-1}} \right)$$
$$\left( \frac{(n-1)s_n^2}{\chi^2_{\alpha, n-1}} , \infty \right) ,
\left( 0 , \frac{(n-1)s_n^2}{\chi^2_{1-\alpha, n-1}} \right)$$
\section{Lineární regrese}
\paragraph{Přímka}
$$b_0 = \bar{Y_n} - b_1 \bar{x_n}$$
$$b_1 = \frac{s_{X,Y}}{s_x^2} = r \frac{s_Y}{s_X}$$
\paragraph{RSS (residual sum of squares)}
$$S_e = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (b_0 + b_1 x_i) )^2$$
\paragraph{Přesnost}
$$R^2 = 1 - \frac{S_e}{(n-1)s_Y^2}$$
Čím více je koeficient blíže 1, tím přesněji odpovídá model datům.
\end{document}