\documentclass[a4paper]{report}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lscape}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\begin{document}
\begin{center}
\Large{НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧАХ КРИПТОГРАФИИ}\\
\vspace {0.5cm}
\large{Николай Шамаев, г. Харьков, Харьковская народная республика}\\
\vspace {1cm}
\end{center}
\large{
В данной статье будут рассмотрены достаточно интересные теоремы теории чисел, а вернее, посвященные числам-близнецам и интересному свойству четырехзначных чисел, которое может значительно помочь в криптографии. Статья рассчитана на широкий круг читателей: как и для тех, кто только начал интересоваться математикой, так и более титулованным научным сотрудникам. Теоремы, приведенные в статье имеют необычайный интерес, ведь их доказательство и формулировка нигде не встречались (если, конечно же, читателю известны источники доказательства или формулировки, или есть свои доказательства — я с радостью приму их во внимание).\\
Теперь приступим к формулировкам и доказательствам теорем (конечно же, с наличием авторского комментария). \\
{\bf1.1. Числа-близнецы.}\\
Числами-близнецами назовем такие простые числа, которые отличаются на 2.
Какие же свойства имеют эти числа? Основные из них иллюстрируют теорема и следствия к ней.\\
{\bfТеорема 1.} Пусть даны два числа-близнеца $p$ и $p+2$. Тогда $(p+1)$ $\vdots$ $6$.\\
{\bfДоказательство теоремы 1.}\\
Докажем сначала лемму.\\
{\itЛемма 1.} Числа-близнецы дают остатки 1 и 2 при делении на 3. Причем $p$ $\equiv$ $2$ (mod 3) и $(p+2)$ $\equiv$ $1$ (mod 3).\\
{\itДоказательство леммы.} Простые числа при делении на три дают остатки 1 или 2. Предположим, что $p$ $\equiv$ $1$ (mod 3), тогда ($p+2$) $\equiv$ $3$ $\equiv$ $0$ (mod 3) т. е. (р+$2$) делится нацело на 3.\\ Но ($p+2$) — простое, то есть это невозможно. Тогда $p$ $\equiv$ $2$ (mod 3), ($p+2$) $\equiv$ $2+2$ $=$ $4$ $\equiv$ $1$ (mod 3), что и требовалось доказать.\\
{\itПродолжим доказательство теоремы.}\\
Теперь, рассмотрим сумму $p+p+2$ $=$ $2p+2$ $=$ $2$($p+1$). Поскольку
$p$ > $3$, то $p$ — не делится нацело на 2. Есть $p+1$ делится нацело на 2. Теперь, согласно лемме 1, получим: $p+p+2$ $=$ $2p+2$ $=$ $2(p+1)$ $\equiv$ $2+1$ $=$ $3$ $\equiv$ $0$ (mod 3). Получили, что $2(p+1)$ делится нацело на 3. 2 на 3 не делится, следовательно $p+1$ делится нацело на 3. Но оно делится еще и на 2. Следовательно, оно делится и на 6. Что и требовалось доказать.
Еще из теоремы 1 следует, что сумма двух соседних чисел-близнецов делится на 12, потому что $2(p+1)$ делится на 2, а $p+1$ делится на 6 (из теоремы).
Попросту, на этом простые свойства чисел-близнецов заканчиваются. Дальше только — объяснение их бесконечности существования и использования математического анализа. Но до этого уровня мы углубляться не будем.
\end{document}
