Como as Séries de Fourier se relacionam com o estudo dos Sons Acústica?
Author
Egmon Pereira
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Trabalho de Cálculo 4 - CEFET/MG
Trabalho de Cálculo 4 - CEFET/MG
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\title{Como as Séries de Fourier se relacionam com o estudo dos Sons (\textit{Acústica})?}
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\author{Egmon Pereira, Gabriel Felipe, Rafael Souza e Vinícius Moraes}
\begin{document}
\maketitle
\hrule
\begin{itemize}
\item Criamos um grupo no Facebook (inbox) para discutir compartilhar os links e outros mateirais usados.
\item Criamos no Overleaf um doc em Latex para montar a apresentação e o relatório.
\item Pesquisamos no google sobre gráficos que demonstram graficos da aplicação da serie de fourier sobre algumas funções e sobre gráficos que demonstram ondas acústicas.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig01}
\end{center}
\end{figure}
\item Com as pesquisas \textit{Google}encontramos os seguintes links:
\begin{itemize}
\item Pesquisando no \textit{Google} por \textit{"how does fourier series relates with audio processing"}, encontramos o site:\\ http://www.dspguide.com/ch13/4.htm o site foi o terceiro resultado na busca.
\item https://www.algosobre.com.br/fisica/acustica.html
\item Pesquisando por \textit{"fourier series acoustics"} encontramos o site:\\ http://clas.mq.edu.au/speech/acoustics/frequency/spectral.html
\item Pesquisando por \textit{"Séries de Fourier"}, encontramos \\ http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html
\item $http://www.de.ufpe.br/~hmo/qFourier_SBrT.pdf$
\item Pesquisando por \textit{"série de fourier sons"}\\ https://www.unochapeco.edu.br/static/data/portal/downloads/1434.pdf e http://www.ifba.edu.br/fisica/nfl/fge2/praticas/timbreCoolEdit.html
\end{itemize}
\item A partir das 13:50h ficamos sem acesso à Rede Mundial de Computadores o que nos impossibilitou de continuar nossa pesquisa. A mesma voltou às 14:08h
\item No link:\\ https://www.unochapeco.edu.br/static/data/portal/downloads/1434.pdf, encontramos o seguinte estudo:\\
\begin{verse}
\hspace{1cm}A Série de Fourier possui um vasto campo de aplicações em diferentes áreas do conhecimento, como nas Engenharias, na Física e na Matemática. Além dessa importância na área científica clássica, a Série de Fourier também auxiliou no desenvolvimento da música.
\hspace{1cm}Matematicamente podemos \textit{“manipular”} uma nota musical através do desenvolvimento de uma Série de Fourier. Assim, este estudo abrange uma aplicação da Serie de Fourier envolvendo ondas sonoras e, aproveitando a similaridade com o tema, também aborda a relação Música e Matemática, uma vez que a música pode ser vista como uma série de fenômenos ondulatórios.
\hspace{1cm}A partir desta experiência e embasados pelo conhecimento teórico, pelas relações matemáticas que regem o comportamento da escala musical contemporânea e pelas características físicas das ondas sonoras, foi proposta uma alteração na construção da Viola Brasileira (Viola Caipira), instrumento acústico tipicamente brasileiro, visando melhorar o desempenho sonoro deste. O som capturado para o estudo e desenvolvimento da situação prática (Aplicação) da Série de Fourier também foi extraído a partir da excitação de uma corda da Viola Brasileira e os resultados confirmaram a aplicabilidade da Série de Fourier na análise
e síntese do som.
\hspace{1cm}\textbf{Análise e síntese do som:} A onda escolhida para análise foi extraída a partir da execução da nota \textit{“Mi”} na Viola Caipira. Fizemos a análise de somente uma corda. Porém, essa corda foi cuidadosamente escolhida, pois essa frequência é a mesma para 3 cordas do instrumento, ou seja, 30\% do som emitido pela viola.
\hspace{1cm}Através de um programa de computador, \textit{Sony Sound Forge 9.0}, sintetizamos a onda sonora de forma linear para podermos visualizá-la. A Figura abaixo mostra o espectro obtido com a captação do som.
\end{verse}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{fig02}
\end{center}
\caption{Nota \textit{Mi}}
\end{figure}
\begin{verse}
\hspace{1cm}Note que a onda tem uma forma bastante complexa. Assim a dedução da função $f(x)$ que gera essa onda torna-se muito difícil. Dessa maneira, sendo nosso trabalho apenas \textit{“propositivo”}, isolamos o primeiro, segundo e terceiro harmônicos da onda através da técnica dos harmônicos, obtendo a onda explícita na Figura abaixo
\end{verse}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{fig03}
\end{center}
\caption{Harmônico}
\end{figure}
\begin{verse}
\hspace{1cm}Assim, utilizando o \textit{software Maple}, conseguimos aproximar a onda através do Polinômio:
\end{verse}
\begin{eqnarray}
p(x) &=& \frac{-80x^{4}}{\pi^{4}}+ \frac{140x^{2}}{\pi^{2}} \label{1}
\end{eqnarray}
\begin{verse}
\hspace{1cm} A Série de Fourier encontrada a partir do
polinômio (\ref{1}) é:
\end{verse}
\begin{eqnarray}
f(x) &\approx& \frac{2}{3}\Sigma_{1}^{\infty}\left( \frac{-80}{(n\pi)^{2}}cos(n\pi)+\frac{3840}{(n\pi)^{2}}cos(n\pi) \right)\cdot cos(nx)
\end{eqnarray}
\begin{verse}
\hspace{1cm}A Figura abaixo representa a Série de Fourier $f(x)$ (linha mais espessa) e o gráfico
do polinômio $p(x)$.
\end{verse}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{fig04}
\end{center}
\caption{Interpolação}
\end{figure}
\begin{verse}
\hspace{1cm}Analisando a Figura 6, que representa a Série de Fourier, inferimos que ela descreve com precisão satisfatória, a onda captada do instrumento.
\end{verse}
\end{itemize}
\end{document}